Ma trận là gì? Các công bố khoa học về Ma trận

Ma trận là một tập hợp các phần tử được sắp xếp theo một cấu trúc hàng và cột nhất định, tạo thành một mảng hai chiều. Mỗi phần tử trong ma trận có thể là số, biểu thức toán học hoặc dữ liệu khác.

Ma trận được biểu diễn bằng cách sử dụng các ký hiệu như dấu ngoặc vuông [ ] và các chuỗi số chỉ số để xác định vị trí của từng phần tử trong ma trận. Ma trận được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý, kỹ thuật, tin học và xử lý ảnh.
Một ma trận A có thể được biểu diễn như sau:

A = [a11 a12 a13 ... a1n]
[a21 a22 a23 ... a2n]
[a31 a32 a33 ... a3n]
... ... ... ...
[am1 am2 am3 ... amn]

Trong đó aij là phần tử ở hàng i và cột j của ma trận, với i là chỉ số hàng (thay đổi từ 1 đến m) và j là chỉ số cột (thay đổi từ 1 đến n). M là số hàng và n là số cột của ma trận.

Ma trận có thể có các loại đặc biệt như ma trận vuông (số hàng bằng số cột), ma trận chéo (các phần tử nằm trên đường chéo chính khác 0 và các phần tử còn lại bằng 0), ma trận đơn vị (các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại bằng 0), ma trận không (toàn bộ phần tử bằng 0), ma trận đối xứng (ma trận chuyển vị bằng chính nó khi phần tử được xác định bởi hàng và cột đối xứng nhau),...

Ma trận cũng có thể thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân, chuyển vị và các phép toán khác cùng với các quy tắc tương ứng. Các thuật toán và phương pháp tính toán ma trận rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ.
Ma trận có thể chứa các loại dữ liệu khác nhau, nhưng thường là số thực hoặc số nguyên. Để xác định kích thước của ma trận, chúng ta sử dụng hai thông số: số hàng (m) và số cột (n).

Phần tử aij trong ma trận A nằm ở hàng i và cột j, trong đó i chạy từ 1 đến m và j chạy từ 1 đến n.

Ví dụ, ma trận 3x3 A có thể được biểu diễn như sau:

A = [1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]

Trong ma trận này, a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3, a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6, a31 = 7, a32 = 8, và a33 = 9.

Các phép toán có thể được thực hiện trên ma trận bao gồm cộng, trừ, và nhân. Ví dụ:

- Phép cộng ma trận: để cộng hai ma trận cùng kích thước, ta cộng từng phần tử tương ứng với nhau.
Ví dụ:
A = [1 2] B = [3 4]
[5 6] [7 8]

A + B = [1+3 2+4] = [4 6]
[5+7 6+8] [12 14]

- Phép trừ ma trận: để trừ hai ma trận cùng kích thước, ta trừ từng phần tử tương ứng với nhau.
Ví dụ đặt lại A và B từ ví dụ trên:
A - B = [1-3 2-4] = [-2 -2]
[5-7 6-8] [-2 -2]

- Phép nhân ma trận: để nhân hai ma trận A và B, số cột của A phải bằng số hàng của B. Kết quả là ma trận mới có số hàng bằng số hàng của A và số cột bằng số cột của B. Phép nhân ma trận được thực hiện bằng cách nhân từng phần tử của hàng i của ma trận A với từng phần tử của cột j của ma trận B và cộng tất cả những kết quả này lại.
Ví dụ đặt lại A và B từ ví dụ trước:
A = [1 2] B = [3 4]
[5 6] [7 8]

A * B = [1*3+2*7 1*4+2*8] = [17 20]
[5*3+6*7 5*4+6*8] [47 56]

- Chuyển vị ma trận: để chuyển vị một ma trận, các hàng trở thành cột và các cột trở thành hàng.
Ví dụ:
A = [1 2] A^T = [1 3]
[3 4] [2 4]

Ngoài các phép toán cơ bản, ma trận còn có thể được sử dụng trong các thuật toán như ma trận nghịch đảo, định thức và phân tích giá trị riêng. Ma trận cũng có thể được lưu trữ và xử lý bằng các ngôn ngữ lập trình như Python, MATLAB, R và nhiều ngôn ngữ khác.